La geometría de la música

La música y la geometría pueden parecer dos conceptos completamente distintos. Sin embargo, si profundizamosun poco, podemos ver que estánn ligadas de cierto modo, Así que os vamos a explicar un poco como la geometría y la música van de la mano con la ayuda de un artículo que salió hace unos años publicado en la revista estadounidense TIME llamado The Geometry of Music.

Durante la historia se han sucedido diversos estilos musicales y formas de entender la música, por lo que cuando escuchamos alguna sonata de Beethoven, un nocturno de Chopin o una coral de Bach, nos parecen totalmente distintas. Sin embargo todas ellas se componen de progresiones de acordes (al menos tres sonidos a la vez) y algo que se podría entender como la melodía. Para mostrarnos todo esto que guarda en común toda la música que podamos escuchar, el compositor Dmitri Tymoczko ha desarrolado un método para representar los acordes mediante la geometría. No es el primero que lo intenta pero sí el que mas convincente ha resultado. Así se explicaba en el artículo de la revista TIME:

"La respuesta de Tymoczko, que llevo a que la prestigiosa revista SCIENCE publicara su primer artículo sobre teoría musical, es que el cosmos de los acordes consiste en extraños espacios multidimensionales que se vuelven sobre sí mismos con una torsión [...]. Así el unísono de dos notas reside en un espacio plano, los acordes de tres notas residen en espacios similares a los prismasy los acordes más complejos habitan en espacios tan difíciles de visualizar como el universo multidimensional de la teoría de cuerdas [...].

Según Tymoczko, el descubrimiento es útil por al menos dos razones. 'Una es que los compositores han estado buscando la estructura geométrica de la música desde el comienzo de la música occidental sin saber realmente lo que estaban haciebdo.Es como si por ejemplo calculas un camino por la ciudad de Boston sin saber que algunas calles se cruzan. Entonces te enseñan un mapa y dices: wow no sabía que el Safeway estaba al lado de la discoteca. Ahora podemos mirar cientos de años atras y ver que se ha estado realizando la música de modo intuitivo sin saber que existen principios muy simples que describen este proceso".

De este modo Timoczko defiende que sería mucho más fácil componer explicar la música mostrando cómo varias composiciones se mueven a través de sus espacios, pudiendo ver cómo diferentes estilos de música se relacionan y evolucionan.

Para finalizar os dejo un video de un charla de Timoczko en un instituto (aunque esta en inglés)



También podeis ver este vídeo basado en le trabajo de Dmitri que muestra con un ejemplo de un pieza de Chopin el equilibrio que existe en la composición.

LA EXPERIENCIA DE ERASTOSTENES

Erastóstenes de Cirene vivió en el siglo II a.C y es considerado por muchos cientificos el primero en medir el perímetro terrestre mediante la que podriamos denominar la experiencia de Erastóstenes. Su cargo en la biblioteca de Alejandría le permitió obtener un tratado en el que se afirmaba que el día del solsticio de verano (21 de Junio)en la ciudad de Siena la luz del sol se reflejaba en los pozos y no se producía sombra alguna, lo cual le hizo pensar al matemático y geómetra que dicha ciudad se encontraba justo sobre la línea del trópico y aproximando los rayos del sol paralelos debido a la lejanía de éste observó que en Alejandría el día del solsticio de verano al mediodía un edificio conocida su altura producía una sombra de una cierta longitud (ambos datos perdidos en el tiempo aunque hay gente que afirma que utilizo palos) y así pudo calcular que ambas ciudades distaban unos 7 grados sexagesimales, resultado que puede proceder muy probablemente de relaciones trigonometricas básicas; así, sabiendo la distancia entre ambas ciudades pudo calcular el perímetro del globo terrestre llevando las relaciones de proporcionalidad al angulo completo(360 grados sexagesimales) con un error cercano al 17% aunque aún no está muyclaro.Esta experiencia demostró no sólo la curvatura de latierra, cosa que se negaría posteriormente hasta bien entrado el renacimiento, sino que además dio un valor bastante aproximado dado la época y los insrumentos de medición del perímetro y el radio terrestre, valor que sería posteriormente, tras mediciones posteriores realizadas por otros matemáticos, reducida y que supondría el valor que Cristobal Colón tomaría como verdadero valor del perimetro terrestre, mucho menor que el real, y cuyo error le llevaría al descubrimiento del continente americano como anécdota histórica.

Curiosidad Matemático-Gráfica

Rastreando la red, hemos encontrado el blog de un licenciado en Matemáticas y Física por la Universidad de Antioquia que, en una de sus entradas de Agosto de 2008, tenía una titulada "Curiosidad matemática" que nos ha encantado y hemos decidido hablar sobre ella. Se trata de un juego con dos cuadrados de 64 casillas. No decimos más para no revelar el juego, echad un vistazo y... ¡A ver quién saca el porqué!

Aquí os adjuntamos el vídeo sacado de YouTube y el blog de este señor, que es realmente interesante.



Blog de Gerardo Patiño:http://matematicasgp.blogspot.com/

Esperamos que os guste.

La Puerta de Europa

Durante los años 80 la ciudad de Madrid sufrió extraordinarios cambios, en múltiples áreas, y la mayoría de ellos muy rápido. Como es sabido, Madrid es una de las capitales del mundo punteras en muchas áreas. Por ejemplo, en un estudio realizado por Viajero Solidario sobre las mejores ciudades del mundo para viajar, Madrid aparece en el puesto número 11 (http://www.destinosblog.com/167/las-mejores-ciudades-del-mundo/), y en otro estudio realizado durante tres meses por la revista Monocle Magazine sobre las mejores ciudades del mundo para vivir, Madrid aparece en el puesto número 10 (http://www.destinosblog.com/256/las-mejores-ciudades-del-mundo-para-vivir/). Esto nos dá a entender la relevancia de la que goza esta ciudad.







Uno de sus emblemas más importantes es la Puerta de Europa, más conocida como las Torres KIO (ya que fueron encargo de la Kuwait Investments Office), situada en la Plaza de Castilla, plaza que hasta hace pocos años fue el final norte del conocidísimo Paseo de la Castellana.

Estas torres se construyeron siguiendo tres lineas; la tendencia internacional de construir enormes rascacielos (miden unos 115 metros de altura), la intención de construir una puerta urbana en la ciudad para "seguir con la tradición" de las puertas en el Madrid amurallado (Puerta de Alcalá, Puerta del Sol...), y la necesidad de impresionar con algo nuevo y modernista.


Su interés gométrico es la importante inclinación de 15º que sufren hacia el centro del Paseo de la Castellana. En un transportador, 15º nos pueden parecer extremadamente ridículos, pero si con lo que estás trabajando es con un edificio de 115 metros de altura, la cosa cambia muy notablemente.

Un dato interesante es que fue el primer edificio del mundo en inclinarse conscientemente por los arquitectos, ya que antes existía la Torre de Pisa.

Uno de sus arquitectos, Philip Johnson, dijo en su visita a las torres en 1996: "Hay que acabar con el ángulo recto si no nos queremos morir del aburrimiento. El rascacielos se ha acabado, podemos olvidarlo. Los arquitectos nos podemos concentrar ahora en la misión de hacer las formas de los edificios que mejoren al hombre", y no se equivocaba. A unos 1000 metros aproximadamente de las famosas Torres KIO hace un año que terminaron las obras de lo que se conocen como las "Torres Florentino", cuatro enormes rascacielos con formas impresionantes que fueron construidas en el terreno donde se situaba la antigua Ciudad deportiva del Real Madrid(operación que salvó al club merengue de una difícil situación económica), situada cerca del Hospital de La Paz. Estas torres reciben los nombres de Torre Espacio, Torre de Cirstal, el rascacilos de Sacyr y la torre de Caja Madrid.

Como afirmó Johnson en 1996, rompen con el ángulo recto y se adueñan del cielo de Madrid con alturas aproximadas de 256 metros y formas geométricas que impresionan sobremanera a cualquier visitante que se atreva a entrar en madrid por el norte.

Thales de Mileto

Hoy vamos a hablar un poco de uno de los filósofos más importantes de la antigüedad, Thales, del que viene el nombre de nuestro blog.

Thales nació en Mileto, ciudad de la actual Turquía, al rededor del año 620 a.C.

Fue el primero y más famoso de los Siete Sabios de Grecia (Cleóbulo de Lindos, Solón de Atenas, Quilón de Esparta, Bías de Priene, Thales de Mileto, Pítaco de Mitilene y Periandro de Corinto). Fundó la escuela jonia de filosofía la cual floreció durante el siglo VI a.C. en las colonias griegas de Jonia, en la costa mediterránea de la actual Turquía; sus principales represntantes fueron filósofos como Anaximandro, Anaxímenes o Heráclito de Éfeso. Su rasgo más común era su visión naturalista de la realidad. Tuvo como discípulo y protegido a Pitágoras

Thales fue el primero en intentar dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un creador, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas

La anécdota más conocia de Thales la cuenta Diógenes Laercio, que al caer Thales en un pozo despues de ser llevado por una vieja mujer a ver las estrellas, esta replicó cuando thales le pidió ayuda " ¿Cómo pretendes saber acerca de los cielos, cuando no ves lo que esta debajo de tus pies? ". También se le atribuye el haber realizado la medición de las pirámides, mediante las sombras que proyectan cuando éstas sson de la misma medida que nosotros mismos.

Es también uno de los más grandes astrónomos y matemáticos de su época, a tal punto que era una lectura obligatoria para cualquier matemático en la Edad Media y contemporánea. Sus estudios abarcaron profundamente el área del Álgebra lineal, algunas ramas de la Física, tales como la Estática, Dinámica y Óptica y sobre todo Geometría que es lo que a nosotros nos ocupa. Principalmente su teorema.

Teorema de Thales:

Principalmente lo que dice es que si tres rectas son paralelas y cortan a otras rectas entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

Entonces se cumple que:

o bien

Una aplicación directa de esto es la división de un segmento en partes iguales o en partes proporcionales a números dados

Citas de Thales:

Muchas palabras no son signo de ánimo prudente.

Busca una sola sabiduría.

Elige una sola cosa buena.

Quebrantará así la lengua de los charlatanes (mentirosos)

Lo más hermoso es el mundo, porque es obra de Dios.

Lo más grande es el espacio, porque lo encierra todo.

Lo más veloz es el entendimiento, porque corre por todo.

Lo más fuerte es la necesidad, porque domina todo.

Lo más sabio es el tiempo, porque esclarece todo.

La geometría que se esconde en un balón de fútbol

Hoy en día el fútbol es el deporte más seguido en nuestro país, pero seguramente muchos de vosotros no os hayáis parado a pensar en la geometría que el balón esconde.


Los balones actuales de fútbol estan conformados por un conjunto de doce pentágonos y veinte hexágonos que ocupan el 86.74 % del volumen que ocuparía una esfera perfecta circunscrita al balón.
Sin embargo existe una figura geométrica llamada rombicosidodecaedro que se aproxima aún mas a la forma esférica. Ésta está formada por veinte triángulos, treinta cuadrados y doce pentágonos teniendo un total de 62 caras. De esta manera el balón ocuparía un 94.33% del volumen de la esfera circunscrita, ganando mayor control del esférico por parte del jugador.

Una curiosidad es que Pitágoras ya describio once de los trece poliedros semirregulares. Todos ellos tienen sus caras formadas por polígonos regulares de dos o tres clases distintas, todos iguales entre sí respectivamente y dispuestos del mismo modo en cada vértice. Desde el sencillo tetraedro truncado, con sólo ocho caras, al gran rombicosidodecaedro, con 62 caras, son todos ellos un prodigio de armonía geométrica.
Con este ejemplo simple de un balón de fútbol nos podemos dar cuenta de que todo lo que vemos en nuestra vida cotidiana lo podemos analizar mediante la geometría.

Ahora os dejamos planteado como construir "el balón del siglo XXI" (rombicosidodecaedro):


1. Con ayuda del compás y transportador construyan 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares del mismo tamaño de lado para las tres figuras (utilice cartón similar al de las cajas de zapatos) en ambos casos deje aletas en los lados
(que luego se convertirán en aristas) para ser engomadas.
2. En los lados de un pentágono pegue un cuadrado (esta es su base). Pegue al medio de dos cuadrados consecutivos un triángulo equilátero.
3. Repita este proceso teniendo cuidado de que en cada lado de los pentágonos debe estar pegado un cuadrado y unidos cada dos por un triángulo.
4. Repita este proceso con cada pentágono que se va pegando, verificando que este rodeado siempre de 5 cuadrados y 5 triángulos en forma intercalada.
5. El poliedro semirregular se cerrará solo por este efecto de repetición del modelo base.

Tres casas, tres centrales

Hoy vamos a plantear este ejercicio:
http://minijuegos.com/juegos/jugar.php?id=5570
El juego trata de unir las tres casas con la electricidad, el agua y el gas sin que se crucen las lineas.

Con este ejercicio pretendemos reforzar algunos de los conceptos trabajados en clase, con los que nos iremos encontrando según vayamos analizándolo.

En primer lugar, intentareis resolver el ejercicio, algunos empleareis más tiempo que otros, hasta que después varios intentos os deis cuenta de que por lo menos una linea siempre se corta con otra.
Aquí nos encontramos con el primer error, ¿nos hemos planteado si tenemos datos suficientes?es decir, ¿está determinado el problema?
Ahora llega el momento de pensar:
-¿Qué tenemos?
-¿Qué necesitamos?
-¿Qué nos piden?

Supongamos que el ejercicio fuera factible, entonces lo que buscamos sería: un grafo plano(es decir, sin cruces), con seis vértices y nueve aristas.


Este grafo puede verse como el desarrollo de un poliedro en el que una de sus caras es la región infinita que rodea a todo el conjunto. Ahora podemos aplicar el Teorema de Euler para poliedros:

Caras + Vértices = Aristas + 2,

y el número de caras o regiones del poliedro serían 5, limitadas por las diferentes lineas.
O sea, si cada una de las regiones tiene que estar limitada al menos por 4 aristas, y cada arista separa 2 caras, ¡encestaríamos un mínimo de (5*4)/2=10 aristas! y solo tenemos 9, por lo tanto, ¡ES UN PROBLEMA SIN SOLUCIÓN EN EL PLANO!

Y ahora viene la hora de preguntarse:
¿Qué nos pedían? y es que estamos suponiendo que las tres casas y las tres centrales están en el plano, ¡pero esto no estaba en el enunciado!
Si pensamos que estos están sobre la superficie de un cilindro, una esfera, un toro(es la superficie de un donut, por ejemplo), tendríamos solución.

Con este ejercicio hemos visto que a veces los enunciados pueden ser incompletos y somos nosotros los que limitamos las soluciones de un problema, es decir, hemos dado una restricción al problema que no existía, y ha hecho imposible resolverlo. También hemos aprendido el Teorema de Euler para poliedros, que nos ha servido para aplicarlo a un problema en un plano.